Геометрическая оптика и её законы. Принцип Ферма. Доказательство закона преломления света с помощью принципа ферма Закон преломления света исходя из принципа ферма

По мере развития науки нам хочется получить нечто большее, чем просто формулу. Сначала мы наблюдаем явления, затем с помощью измерений получаем числа и наконец находим закон, связывающий эти числа. Но истинное величие науки состоит в том, что мы можем найти такой способ рассуждения, при котором закон становится очевидным.

Впервые общий принцип, наглядно объясняющий закон поведения света, был предложен Ферма примерно в 1650 г. и получил название принципа наименьшего времени, или принципа Ферма. Вот его идея: свет выбирает из всех возможных путей, соединяющих две точки, тот путь, который требует наименьшего времени для его прохождения.

Покажем сначала, что это верно для случая с зеркалом, что этот простой принцип объясняет и прямолинейность распространения света, и закон отражения света от зеркала. Мы явно делаем успехи!

Попытаемся решить следующую задачу. На фиг. 26.3 изображены две точки A и B и плоское зеркало ММ’. Каким путем можно за кратчайшее время попасть из точки A в точку В? Ответ, по прямой, проведенной из A в В! Но если мы добавим дополнительное условие, что свет должен попасть на зеркало, отразиться от него и вернуться снова в точку В опять-таки за кратчайшее время, то ответить не так уж просто. Один путь - как можно скорее добраться до зеркала, а оттуда в точку В, т. е. по пути ADB. Путь DB, конечно, длинен. Если сдвинуться чуть-чуть вправо в точку Е, то первый отрезок пути немного увеличится; но зато сильно уменьшится второй, и время прохождения поэтому станет меньше. Как найти точку С, для которой время прохождения наименьшее? Воспользуемся для этого хитрым геометрическим приемом.

По другую сторону зеркала ММ’, на таком же расстоянии от него, что и точка В, построим искусственную точку В’. Затем проведем линию ЕВ’. Поскольку угол BFM прямой и BF = FB’, то ЕВ равно ЕВ’. Следовательно, сумма длин двух отрезков АЕ + ЕВ, пропорциональная времени их прохождения (если свет проходит с постоянной скоростью), равна сумме длин АЕ + ЕВ’. Теперь нужно выяснить, когда сумма длин будет наименьшей. Ответ: когда точка С будет лежать на прямой, соединяющей A и В’! Другими словами, нужно идти к мнимой точке В’ (мнимому изображению точки В) и тогда мы найдем точку С. Далее, если АСВ’ - прямая линия, угол BCF равен углу B’CF и, следовательно, углу АСМ. Таким образом, утверждение о равенстве углов падения и отражения равносильно утверждению, что свет при отражении от зеркала в точку В выбирает путь, требующий наименьшего времени. Еще Герон Александрийский высказал утверждение, что свет при отражении идет из одной точки в другую по кратчайшему пути, так что идея принципа, как видите, не нова. Именно это вдохновило Ферма, и он попробовал применить этот принцип к явлению преломления. Но свет, преломляясь, очевидным образом идет не по кратчайшему пути, и тогда Ферма предложил другой принцип -свет выбирает путь, время прохождения по которому наименьшее.

Прежде чем перейти к вопросу о преломлении света, сделаем еще одно замечание об отражении от зеркала. Если по- . местить источник света в точку В и направить луч на зеркало, свет, отражаясь от зеркала, пройдет из В в A так, как будто бы источник находится в В’, а зеркала нет вообще. Наш глаз видит только тот свет, который действительно входит в него; и хотя источник расположен в точке В, зеркало направляет свет в глаз точно так, как будто источник находится в В’ система глаз - мозг интерпретирует именно так это явление. Поэтому иллюзия, что источник или предмет находится за зеркалом, вызывается только тем фактом, что свет попадает в глаз физически именно так, как если бы предмет действительно был позади зеркала (если не принимать во внимание пыль на зеркале и то, что нам известно, что зеркало реально существует, и другие сведения, которые учитывает наш мозг).

Покажем теперь, что из принципа наименьшего времени, вытекает закон Снелла для преломления. Мы должны, конечно, что-то предположить относительно скорости света в воде. Будем считать, что скорость света в воде меньше скорости света в воздухе, и отношение второй скорости к первой обозначим через n. ,

Наша задача по-прежнему состоит в том, чтобы на фиг. 26.4 попасть из точки A в В за наименьшее время. Чтобы убедиться, что путь по прямой здесь не самый быстрый, представим себе следующую ситуацию: хорошенькая девушка падает из лодки в воду в точке В и кричит, просит спасти. Линия X - это берег. Вы находитесь на суше в точке A и видите, что произошло, вы умеете, плавать и умеете бегать. Но бегаете вы быстрее, чем плаваете. Что вам делать? Бежать по прямой к берегу? (Конечно!) Но, немного поразмыслив, вы поймете, что выгоднее пробежать несколько дольше по

берегу, чтобы уменьшить ваш путь в воде, потому что в воде вы будете двигаться гораздо медленнее. (Рассуждая таким образом, лучше всего было бы заранее тщательно вычислить путь!) Во всяком случае, давайте попытаемся показать, что окончательное решение задачи - это путь АСВ, который занимает из всех возможных наименьшее время. Если этот путь кратчайший по времени, то любой другой окажется длиннее. Поэтому если отложить на графике зависимость времени от положения точки X, получится кривая, похожая на изображенную на фиг. 26.5, где точка С соответствует наименьшему времени. Это означает, что для точек X вблизи С в первом приближении время прохождения практически одинаковое, так как в точке С наклон кривой равен рулю. Итак, наш способ найти искомый путь сводится к требованию, чтобы, при небольшом изменении положения точки время прохождения не менялось. (Конечно, возникнут бесконечно малые изменения времени второго порядка, и они должны быть поло^ жительными при смещении в обе стороны от точки С.) Возьмем близкую точку X, вычислим время прохождения на пути АХВ и сравним его со старым путем АСВ. Сделать это очень просто. Конечно, нужно еще, чтобы разность времен стремилась к нулю для малых расстояний ХС. Обратимся сначала к пути по суше. Если мы опустим перпендикуляр ЕХ, то легко увидим, что наш путь стал короче на длину ЕС. Можно сказать, что это расстояние мы выиграли. С другой стороны, опустив перпендикуляр CF, мы увидим, что в воде приходится проплыть дополнительное расстояние XF. В этом мы проиграли. С точки зрения экономии времени выигрывается время на отрезке ЕС, но теряется на отрезке XF. Эти два интервала времени должны быть равны, так как в первом приближении полное время прохождения не меняется. Предположив, что скорость в воде равна скорости в воздухе, умноженной на 1/n, получим

Поэтому мы видим, что если нам удалось правильно выбрать точку С (ХС sin ЕХС = nХС sin XCF) или мы сократили на длину общей гипотенузы ХС и заметили, что ЕХС = ECN = θ i и XCF = BCN’ = θ r , то мы получим

Отсюда видно, что при отношении скоростей, равном n, свет должен двигаться из одной точки в другую по такому пути, чтобы отношение синусов θ i и θ r было равно отношению скоростей в двух средах.

В основу геометрической оптики может быть положен принцип, установленный французским математиком Ферма в середине 17 столетия. Из этого принципа вытекают законы прямолинейного распространения света, отражения и преломления света. В формулировке самого Ферма принцип гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.

Пусть луч распространяется из точки 1 в точку пространства 2 (рис.1.7). Разобьем траекторию распространения света на прямолинейные участки, на которых показатель преломления будет константой, тогда чтобы свету пройти путь
требуется время

,

Следовательно, время, затрачиваемое светом на прохождение пути 1-2 равно

Величина имеет размерность длины и эту величину называют оптическим ходом луча или оптической длиной пути света

(1,9)

В однородной изотропной среде оптическая длина пути света равна

(1.10)

Пропорциональность времени tпрохождения оптической длине пути лучаLдает возможность сформулировать принцип Ферма следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого экстремальна. Из принципа Ферма вытекает обратимость хода световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света из точки 2 в точку 1.

С помощью принципа Ферма можно доказать законы геометрической оптики, например, закон преломления света.

Доказательство закона преломления света с помощью принципа Ферма

Траектория по которой луч света из точки А, нкаходящейся в среде с показателем преломления n 1 , попадает в точку В, расположенную в среде с показателем преломленияn 2, может быть разной, но нам нужно показать, что луч будет распространяться по такому пути, на который он затратит минимальное время.

Опустим из точек А и В перпендикуляры на границу раздела двух сред и расстояния от точек до границы раздела обозначим соответственно а 1 и а 2 .

Так как точка перехода луча из одной среды в другую зависит от того по какой траектории будет распространяться луч света, то расстояние от первого перпедикуляра до точки падения (см.рис 1.8) обозначим x. Расстояние между опущенными перпендикулярами обозначимb.

Рис.1.8

Оптический путь луча будет состоять из двух частей, так как он распространяется в двух разныз средах:

Так как время распространения света из точки А в точку Bдолжно быть минимально, то оптический путь должен быть экстремален, т.е. первая производная оптического пути по времени должна быть равна нулю:

(1.11)

, а

Поэтому из условия (1,11) получаем

(1.12)

Т.е. закон преломления света доказан.

Полное внутреннее отражение, световоды (эндоскопы) .

Из формулы (1.12) видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нормали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения сопровождается более быстрым ростом угла преломления ¦
и при некотором ¦ значении угла, котором преломленный луч пойдет по границе раздела двух сред, т.е. угол
достигает значения равного
, В этом случае угол паденияназывается предельным углом падения и определяется

(1.13)

Энергия, которую несет с собой падающий луч, распределяется между отраженным и преломленным лучами. По мере увеличения угла падения интенсивность отраженного луча растет, интенсивность же преломленного луча убывает, обращаясь в нуль при предельном угле. При углах падения, заключенных в пределах от предельного угла падения
до
, световая волна проникает во вторую среду на расстояние порядка длины волныи затем возвращается в первую среду. Это явление называется полным внутренним отражением (см.рис.1.9).

Явление полного внутреннего отражения находит применение во многих оптических устройствах. Наиболее интересным и практически важным применением является создание волоконных световодов , которые представляют собой тонкие (от нескольких микрометров до миллиметров) произвольно изогнутые нити из оптически прозрачного материала (стекло, кварц). Свет, попадающий на торец световода, может распространяться по нему на большие расстояния за счет полного внутреннего отражения от боковых поверхностей. Проверьте на опыте будет ли свет от красной лампочки распространяться по изогнутой струе воды.

Явление полного внутреннего отражения лежит в основе волоконной оптики. Свет, попадая внутрь прозрачного волокна, окруженного веществом с меньшим показателем преломления, многократно отражается и распространяется вдоль этого волокна. Диаметр этих тонких стеклянных или пластиковых волокон может быть доведен до нескольких микрометров. Для передачи больших световых потоков и сохранения гибкости светопроводящей системы отдельные волокна собираются в пучки (жгуты) – световоды, свет по световоду может передаваться почти без потерь. Рис1.10 демонстрирует, как распространяется свет по тонкому волокну, испытывая только скользящие отражения от стенок, т.е. претерпевая полное внутреннее отражение.

Если световоду придать сложную форму, то угол падения обычно превышает предельный, и свет будет передан от одного торца световода до другого практически без ослабления. Этот эффект используется в декоративных светильниках и при подсветке струй в фонтане. Волоконная оптика широко используется в медицине. Например, для визуального исследования внутренних полых органов используются гибкие гастроскопы, эндоскопы. С помощью световодов осуществляется передача лазерного излучения во внутренние ткани и органы с целью лечебного воздействия. На рис. 1.12 показаны различные способы подведения лазерного излучения к ткани: 1 - лазерный луч нацелен на ткань через систему диафрагм и линз; 2 - луч подводится через систему подвижных зеркал; 3 - луч проводится по гибкому пустотелому световоду с внутренней зеркальной поверхностью;

4 - луч проводится через гибкий кварцевый световод и дистанционно нацелен на ткань.

Рис. 1.12. Способы подведения лазерного излучения к ткани

Примером природной волоконнооптической системы является сетчатка человеческого глаза. Попадая на сетчатку, свет воспринимается светочувствительными элементами (волокнами двух типов: палочками и колбочками). Этот слой подобен волоконнооптическому устройству. У травянистых растений стебель играет роль световода, подводящего свет в подземную часть растения. Клетки стебля образуют параллельные колонки, напоминая этим конструкцию промышленных световодов. Если освещать такую колонку,рассматривая ее через микроскоп, то видно, что ее стенки при этом остаются темными, а внутренность каждой клетки ярко освещена. Глубина, на которую доставляется таким способом свет, не превышает 4-5 см. Но и такого короткого световода достаточно, чтобы обеспечить светом подземную часть травянистого растения.

Заключение

Итак, свет обладает свойствами электромагнитной волны и потока фотонов, свойства неразделимы и в одних явлениях преобладает одно свойство, а в других другое, что связано с длиной световой волны.

В анизотропной среде абсолютный показатель преломления зависит от направления распространения световой волны.

В законах геометрической оптике используются чисто математические представления о лучах, не рассматривается природа света, законы работают при .

Принцип Ферма является наиболее общим законом геометрической оптике, из этого закона могут быть выведены законы отражения и преломления света. Принцип Ферма определяет оптический путь луча и обратимость хода лучей.

Закон полного внутреннего отражения позволяет понять принципы работы световодов (эндоскопов)

Ст. преподаватель кафедры___________________________

(наименование кафедры)

_______________________ ________________________

(ученая степень, ученое звание, подпись) (И.О.Ф.)

Основу геометрической оптики образуют четыре закона: 1) закон прямолинейного распространения света; 2) закон независимости световых лучей; 3) закон отражения света; 4) закон преломления света.

Закон прямолинейного распространения света: в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. Опытным доказательством этого закона могут служить резкие тени, отбрасываемые непрозрачными телами при освещении светом источника достаточно малых размеров («точечный источник»). Другим доказательством может служить известный опыт по прохождению света далекого источника сквозь небольшое отверстие, в результате чего образуется узкий световой пучок. Этот опыт приводит к представлению о световом луче как о геометрической линии, вдоль которой распространяется свет. Следует отметить, что закон прямолинейного распространения света нарушается и понятие светового луча утрачивает смысл, если свет проходит через малые отверстия, размеры которых сравнимы с длиной волны.

Луч света распространяется прямолинейно, если на пути его распространения среда однородна, абсолютный показатель преломления среды везде одинаков. Однако, если показатель преломления среды плавно изменяется на трассе луча, траектория луча света искривляется (рис.1.2), причём луч смещается в сторону увеличения показателя преломления.

Рассмотрим ход лучей (рисунок 1.3), идущих от точки С (С- это точка, лежащая на Солнце, которое почти спряталось за горизонт). Луч искривляется, так как каждый последующий слой атмосферы имеет больший показатель преломления и в каждом последующем слое луч света приближается к перпендикуляру восстановленному в точку падения. Наблюдатель, находящийся в точке А, видит изображение Солнца в точке С 1 . Зашедшее Солнце за счет преломления остается видимым еще несколько минут, поэтому продолжительность дня оказывается на 7-8 минут больше, чем она была бы в отсутствии преломления. Сплюснутая форма Солнца при восходе и заходе объясняется, тем, что лучи, идущие от разных частей Солнца отклоняются от прямой линии на разные углы.

Рис.1.4

Миражи связаны с тем, что абсолютный показатель преломления в разных атмосферных слоях оказывается разным. Обычно наблюдается верхний или нижний мираж. Нижний мираж наблюдается в пустынях и в степях в теплое время года, когда прилегающий к земной поверхности слой воздуха сильно нагрет, а его плотность и показатель преломления быстро возрастают с высотой. На рисунке 1.4,а показано каким образом горячий песок позволяет видеть макушку дерева А. Луч света n преломляется при прохождении вниз от холодного к нагретому воздуху, следовательно, угол преломления будет возрастать, а линия, по которой свет распространяется, искривляется (рис.1.5. В точке В луч света испытает полное внутреннее отражение, преломленный луч исчезнет. Вся световая энергия сосредотачивается в отраженном луче, поэтому луч как бы изменил свое направление.

Рис.1.5

Поэтому, когда он попадает в глаз наблюдателя, то кажется, что он исходит из точки А ¢ , а не точки А.

Верхний мираж может наблюдаться близ воды. Так как около поверхности воды может находиться слой холодного воздуха, над которым расположен слой теплого воздуха.

В результате отдаленный корабль на море может казаться плавающим в небе, как показано на рисунке 1.4б., так как лучи света описывают большую дугу и возвращаются вниз за десятки километров от источника. С Лазурного берега иногда можно увидеть Корсику, расположенную за 200 километров оттуда. Жители бельгийского города Вервье в 1815 году увидели в небе целую армию. За сто километров от этого города в это утро произошла битва при Ватерлоо.

Закон независимости световых пучков утверждает, что лучи при пересечении не возмущают друг друга. Пересечения лучей не мешает каждому из них распространяться независимо друг от друга.

Если две изотропные среды с разными показателями преломления соприкасаются друг с другом, то между ними образуется граница раздела этих сред. Луч света, попадая на эту границу, частично отражается, частично преломляется (см. рис.1.6)

Закон отражения света: падающий и отраженный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости (плоскость падения). Угол отражения γ равен углу падения α.

Закон преломления света: падающий и преломленный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β есть величина, постоянная для двух данных сред и равна отношению абсолютного показателя преломления второй среды относительно показателя преломления первой среды:

(1.8)

Закон преломления был экспериментально установлен голландским ученым В. Снеллиусом (1621 г.)

Законы отражения и преломления находят объяснение в волновой физике. Согласно волновым представлениям, преломление является следствием изменения скорости распространения волн при переходе из одной среды в другую. Физический смысл показателя преломления – это отношение скорости распространения волн в первой среде υ 1 к скорости их распространения во второй среде υ 2:

Рис 1.6 иллюстрирует законы отражения и преломления света.

Принцип Ферма

В основу геометрической оптики может быть положен принцип, установленный французским математиком Ферма в середине 17 столетия. Из этого принципа вытекают законы прямолинейного распространения света, отражения и преломления света. В формулировке самого Ферма принцип гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.

Рис.1.7

Пусть луч распространяется из точки 1 в точку пространства 2 (рис.1.7). Разобьем траекторию распространения света на прямолинейные участки, на которых показатель преломления будет константой, тогда чтобы свету пройти путь требуется время

,

Следовательно, время, затрачиваемое светом на прохождение пути 1-2 равно

Величина имеет размерность длины и эту величину называют оптическим ходом луча или оптической длиной пути света

В однородной изотропной среде оптическая длина пути света равна

Пропорциональность времени t прохождения оптической длине пути луча L дает возможность сформулировать принцип Ферма следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого экстремальна. Из принципа Ферма вытекает обратимость хода световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света из точки 2 в точку 1.

С помощью принципа Ферма можно доказать законы геометрической оптики, например, закон преломления света.

Геометрическая оптика представляет собой раздел физики, который изучает распространение света в виде лучей, независимых друг от друга и подчиняющихся законам отражения и преломления, использую понятия и методы геометрии.

Геометрическая оптика представляет собой предельный случай волновой оптики при условии, что λ->0.

Геометрическая оптика базируется на 4х законах :

Законы прямолинейного преломления света – в однородной изотопной среде свет распространяется по прямой линии, т.е. пренебрегается явление дифракции.

Закон независимости световых лучей . Предполагается, что при пересечении луча не влияют друг на друга. Это справедливо для не очень больших интенсивностей.

Закон отражения света.

Закон преломления света.

В основу геометрической оптики может быть положен принцип Ферма .

Свет распространяется по пути, не прохождение которого ему надо затратить минимальное время. Этот принцип может быть сформулирован с использованием понятия оптическая длина пути света.

Время tпрохождения света между двумя точками в неоднородной среде сnможно записать:

ГдеL– оптическая полная длина дуги(1) .

Из (1) видно, что tбудет минимально приL->min.

Поэтому можно сформулировать: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.

Пути света, у которых оптические длины равны, называются таутохромными .

Центрированная оптическая система. Кардинальные элементы цос: фокусы, фокальные плоскости, главные точки и главные плоскости, узловые точки.

Световым лучом считаем линию, по которой распространяется энергия световой волны. Совокупность лучей образуютсветовой пучок . Будем рассматривать гомоцентрические и параллельные пучки лучей.

Если световые лучи (или их продолжения) выходят из одной точки, то пучок гомоцентрический .

Оптическая система представляет собой совокупность оптических деталей, предназначенных для преобразования световых пучков путём преломления и отражения.

Если центры всех оптических поверхностей лежат на одной прямой, называемой оптической осью , то такая система называетсяцентрированной оптической системой .

Любая оптическая система производит преобразование – предмет изображения.

Если каждой точкой предмета соответствует изображение тоже в виде точки и сохраняется геометрическое подобие, то такая система называется идеальной .

Чтобы подчеркнуть тот факт, что точка предмета изображается системой в виде точки, говорят, что это изображение стигматическое (точечное) . Такая точка и её изображение называются сопряжёнными.

Пространство, где могут находиться точки предмета, называется пространством предмета .

Точки пространства, в которых может находиться точки изображения, называются пространством изображения .

Большинство реальных оптических систем можно считать идеальными только для параксиальных (приосевых) лучей, т.е. лучей, которые образуют малые углы с оптической осью и с перпендикулярами к оптическим поверхностям.

Параксиальными являются лучи, при которых выполняется sinα=tgα=α.

Свойства центрированных оптических систем можно полностью определить, если задать координальные моменты – передние и задние фокусы, главные и узловые точки, соответствующие плоскости.

Фокусы оптической системы и фокальные плоскости.

Если на оптическую систему пустить пучок параллельных лучей, причём параллельных главной оптической оси, то они сойдутся в точке, называемой задним фокусом оптической системы .

Задний фокус можно считать изображением сопряжённой бесконечной удалённой точки, находящейся на оптической оси. Отметим, что если фокус образован пересечением продолжений лучей, то задний фокус может находиться и перед системой.

Если параллельный пучок лучей направить со стороны изображения, то они сойдутся в точке – переедем фокусом оптической системы .

Передним фокусом можно считать и точку, сопряжённая в которой точка изображения находится на бесконечности ((на оптической оси). В плоскости, проведённая перпендикулярно оптической оси в заднем и передним фокусе, называется задней и передней фокальной плоскостью.

Под линейным увеличением Г понимают отношение размера изображения к размеру предмета.

Г=y"/y. Будем считать все отрезки или предметы, находящиеся выше оси положительными (+), а ниже – отрицательными (-). Существуют две сопряжённые плоскости, обозначенные HиH’, каждая точка одной из которых отображается на другую с линейным увеличением +1.

Точка пересечения главных плоскостей с оптической осью называется главной точкой .

Главные плоскости НЕ совпадают с оптическими элементами системы.

Узловыми точками переднейNи заднейN’ осей называются две сопряжённые точки на оси, обладающие свойствами, что лучи проходящие через них являются параллельными.

Если оптическая система находится в однородной среде, то узловые точки совпадают с соответствующими главными точками, т.е. N->HиN’->H’.

Задним фокусом расстояния оптической системы будем называть расстояние от задней точкиH’ до заднего фокусаF’ и обозначаемf’.

Передним фокусом расстояния будем называть передней точкойHдо заданного фокусаFи обозначаемf.

При анализе оптической системы используют правила знаков .

Положительное направление луча – слева направо.

Расстояние, отсчитываемое от соответствующей координаты точек к лучу считается >0, против луча - <0.

Из рисунка f’>0, аf<0.

Если перед оптической системой есть среда с n, а после неё среда сn’, то можно доказать, чтоf/f’=-n/n’, т.е. в однородной средеf=-f’.

Ф=n’/f’=n/f–оптическая сила системы . Если Ф>0, тосистема собирающая , если Ф<0 –рассеивающая .

xx"=ff’ –уравнение Ньютона для оптической системы .

1/f’=1/S’-1/S=> -1/S+1/S’=1/f’ –уравнение Гаусса (уравнение отрезка).

Тонкой линзой будем называть линзу, толщина которой во много раз меньше радиусов кривизныR 1 иR 2 её сферических поверхностей, т.е.d<

Фокусное расстояние линзы , гдеn– показатель преломления материала линзы по отношению к среде, где она находится;R 1 иR 2 – радиусы кривизны 1-ой и 2-ой поверхности. При подстановкеRнадо использовать правило знаков: если центр кривизны справа (слева) от сферической поверхности, тоR- “+” (R– “-“).

До сих пор мы рассматривали все соотношения геометрической оптики и законы действия оптических инструментов как следствие основных законов отражения и преломления света, сформулированных в § 8.

Однако, как показал около 300 лет назад Ферма, эти основные законы могут быть в свою очередь выведены из одного более общего принципа. Принцип Ферма утверждает, что свет распространяется по такому пути, при котором время, необходимое для прохождения света от одной точки до другой, имеет наименьшее или наибольшее значение (экстремум) 1).

Ферма считал свой принцип проявлением еще более общего принципа целесообразности: «природа всегда придерживается кратчайшего пути». Такое телеологическое толкование принципа Ферма было широко распространено в XVII и XVIII вв. и использовалось для доказательства существования бога. Однако, кроме всего прочего, такой трактовке резко противоречат все случаи, соответствующие наибольшему времени. Ниже показано, что принцип Ферма является просто одним из следствий волновой природы света, но справедлив только в области применимости методов геометрической оптики.

Если тело имеет показатель преломления то скорость света этом теле равна где с - скорость света в пустоте. Поэтому

время, в течение которого свет проходит расстояние I в среде с показателем преломления определяется соотношением

Произведение геометрического пути I на показатель преломления называют оптическим путем. Пусть свет проходит несколько сред с показателями преломления (рис. 39). Из точки А свет попадает в В по такому пути для которого время

имеет наибольшее или наименьшее значение.

Так как скорость света с в пустоте есть величина постоянная, то можно сформулировать принцип Ферма так: между точками оптический путь имеет минимальное или максимальное значение.

Из принципа Ферма легко вывести законы отражения и преломления.

Рис. 39. К принципу Ферма,

Рис. 40. Закон отражения как следствие принципа Ферма

В случае отражения оптический путь пропорционален геометрическому пути, так как распространение света происходит в одной среде. Поэтому применение принципа Ферма к отражению света сводится к решению чисто геометрических задач.

Пусть требуется найти кратчайший путь из точки при условии, что путь должен проходить через точку, лежащую на поверхности зеркала (рис. 40). Иначе говоря, требуется найти такую точку О на зеркале, чтобы путь был минимальным. Возьмем точку А, симметричную с А относительно поверхности зеркала Для любой точки отрезок следовательно, Отсюда становится очевидным, что искомой точкой будет точка О, лежащая на пересечении прямой В А

с поверхностью зеркала Из этого способа построения точки О получается закон отражения:

В то время как при отражении от плоского зеркала оптический путь имеет минимальное значение, в других случаях он может быть максимальным. Так, при отражении от вогнутых зеркал имеет место как наименьший оптический путь, так и наибольший. Пусть (рис. 41) - вогнутое зеркало, две точки, между которыми нужно найти оптический путь луча, отражающегося от зеркала

Рис. 41. При отражении от кривого зеркала оптический путь имеет иногда наименьшее, а иногда наибольшее значение.

Рис. 42. Вывод закона преломления из принципа Ферма.

Построим эллипсоид вращения с фокусами касательный к поверхности Из геометрического свойства эллипса следует, что все лучи, исходящие из А, собираются в точке В. Следовательно, искомый оптический путь проходит через точку касания Легко показать, что путь больше любого другого В самом деле, Последняя же сумма по геометрическому свойству эллипса равна Таким образом, рассмотренный случай дает пример наибольшего оптического пути. В случае вогнутого зеркала касательного к эллипсу снаружи, отражение происходит при минимальном оптическом пути, так же как в случае плоского зеркала и выпуклого

Когда свет проходит через границу (рис. 42) между двумя средами с показателями преломления то из условия минимума или максимума оптического пути

получается закон преломления:

где углы с нормалью к поверхности

Если величина имеет для светового луча экстремальное значение, то это значит, что величина при бесконечно малых изменениях формы луча не должна практически меняться. В данном случае наблюдается то же и в максимуме или минимуме обычной функции от какого-либо аргумента: бесконечно малые изменения аргумента не изменяют значения функции (производная равна нулю). Разница только в том, что величина зависит не от какого-либо аргумента, а от формы луча Проведем через точку С, бесконечно близкую к С, луч согласно сказанному длина оптического пути V для этого луча должна быть равна длине оптического пути

Иными словами,

Проведем из А и в окружности радиусами и тогда ввиду малости можно считать, что

или, пользуясь полученным выше соотношением:

Рассматривая треугольники и как прямоугольные, получим:

Подставив эти выражения и сократив на получим:

Если рассмотреть действие любой оптической системы, дающей изображения, То на первый взгляд кажется, что мы имеем дело с резким нарушением принципа Ферма. Свет от любой точки предмета до ее изображения распространяется по бесчисленному числу различных путей. Все лучи, вышедшие из светящейся точки, собираются в ее изображении, преломляясь и отражаясь различным образом.

Однако оказывается, что и здесь все находится в полном согласии с принципом Ферма. Частным случаем экстремума какой-либо величины является постоянство этой величины. Время прохождения света по всем лучам, образующим изображение точки, будет одно и то же. Задача становится неопределенной, мы не можем выбрать луча, соответствующего минимальному или максимальному времени, и сказать, что все остальные запрещены. Все лучи, идущие через оптическую систему, равновозможны с точки зрения принципа Ферма. Как было указано, если мы поместим источник в один фокус

эллиптического зеркала, то все лучи соберутся в другом фокусе. Из геометрических свойств эллипса прямо следует, что оптический путь от одного фокуса до другого по всем лучам будет один и тот же в согласии с принципом Ферма.

При прохождении линзы (положительной) центральный луч проходит меньший геометрический путь, чем краевые лучи, но, пользуясь формулой (5), можно показать, что оптические пути всех лучей будут равны. Этот результат вполне понятен, ибо чем короче световой луч (рис. 17), тем больший путь этот луч должен пройти в стекле, где свет распространяется медленнее, чем в воздухе. Вот это замедление света в стекле и компенсирует укорочение геометрического пути луча. Можно поступить наоборот и из постоянства оптических путей получить формулу (5).

Рис. 43. Астрономическая рефракция.

Все сказанное о равенстве оптических путей, конечно, справедливо только для случаев идеального изображения, когда светящейся точке соответствует точечное изображение. Если же система не сводит всех лучей, вышедших из точки, опять в одну точку, то, естественно, нарушается постоянство оптического пути по всем лучам. Чем хуже будет качество изображения, тем сильнее будут расходиться значения для различных оптических путей. В современной теории ошибок оптических инструментов, основанной Гамильтоном, мерилом качества оптической системы служит величина отклонений от постоянства оптических путей для различных лучей.

Особенно интересны применения принципа Ферма в оптике сред с непрерывно меняющимся показателем преломления.

В случае среды с непрерывно меняющимся показателем преломления условие максимума или минимума оптического пути может быть написано как условие максимума или минимума интеграла, выражающего сумму оптических путей

где элемент геометрического пути, показатель преломления - функция координат. Путь светового луча оказывается в этом случае криволинейным. Так, например, в земной атмосфере наблюдаются явления рефракции и миража, происходящие вследствие непрерывного изменения плотности, а следовательно, и показателя преломления воздуха. Так как плотность воздуха с высотой убывает, то рефракция искривляет световой луч, идущий от звезды (рис. 43), делает его падающим на землю более

отвесно, и поэтому наблюдатель видит звезду в точке 5, находящейся выше истинного положения звезды

Миражи наблюдаются при возникновении резких изменений плотности воздуха с высотой, которые вызываются Температурными условиями. Над раскаленным песком пустыни воздух сильно нагрет и плотность его мала. Поэтому до известной высоты в таких условиях может наблюдаться рост плотности воздуха с высотой, т. е. рост показателя преломления воздуха с высотой. Такое необычное изменение показателя преломления вызывает искривление светового луча, изображенное на рис. 44, а. Световой луч своей выпуклостью обращен к Земле, а не от Земли. В этом случае наблюдателю кажется, что световые лучи исходят от перевернутого предмета или что световые лучи отражаются от плоского зеркала. Это плоское зеркало воспринимается как большая водная поверхность.

Рис. 44. Происхождение миража

Наоборот, при резком убывании плотности воздуха с высотой световые лучи искривляются, так же как и при рефракции, но в гораздо большей степени. В результате световые лучи, идущие от предметов, лежащих за горизонтом, огибают Землю и попадают в глаз наблюдателя (рис. 44, б). Наблюдатель видит далекие предметы, и они ему кажутся близкими.

Таким же «миражем», по сути дела, является прием сверхдальней радиопередачи, происходящий в результате полного внутреннего отражения коротких радиоволн от ионосферы (т. II, § 91).