Ранг матрицы методы вычисления ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований (алгоритм Гаусса). Какой метод использовать для нахождения ранга матрицы

Строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы - наивысший из порядков всевозможных ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы любого размера ноль. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг равен единице, и т.д.

Ранг матрицы - размерность образа dim ⁡ (im ⁡ (A)) {\displaystyle \dim(\operatorname {im} (A))} линейного оператора , которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы A {\displaystyle A} обозначается rang ⁡ A {\displaystyle \operatorname {rang} A} , r ⁡ A {\displaystyle \operatorname {r} A} , rg ⁡ A {\displaystyle \operatorname {rg} A} или rank ⁡ A {\displaystyle \operatorname {rank} A} . Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первые два - для немецкого, французского и ряда других языков.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Пусть - прямоугольная матрица.

  Тогда по определению рангом матрицы A {\displaystyle A} является:

  Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы A m × n {\displaystyle A_{m\times n}} порядка k {\displaystyle k} равны нулю ( M k = 0 {\displaystyle M_{k}=0} ). Тогда ∀ M k + 1 = 0 {\displaystyle \forall M_{k+1}=0} , если они существуют.

  Связанные определения

  Свойства

  • Теорема (о базисном миноре): Пусть r = rang ⁡ A , M r {\displaystyle r=\operatorname {rang} A,M_{r}} - базисный минор матрицы A {\displaystyle A} , тогда:
  • Следствия:
  • Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями . Тогда справедливо утверждение: Если A ∼ B {\displaystyle A\sim B} , то их ранги равны.
  • Теорема Кронекера - Капелли : Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
    • Количество главных переменных системы равно рангу системы.
    • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
  • Неравенство Сильвестра : Если A и B матрицы размеров m x n и n x k , то
  rang ⁡ A B ≥ rang ⁡ A + rang ⁡ B − n {\displaystyle \operatorname {rang} AB\geq \operatorname {rang} A+\operatorname {rang} B-n}

  Это частный случай следующего неравенства.

  • Неравенство Фробениуса : Если AB, BC, ABC корректно определены, то
  rang ⁡ A B C ≥ rang ⁡ A B + rang ⁡ B C − rang ⁡ B {\displaystyle \operatorname {rang} ABC\geq \operatorname {rang} AB+\operatorname {rang} BC-\operatorname {rang} B}

  Линейное преобразование и ранг матрицы

  Пусть A {\displaystyle A} - матрица размера m × n {\displaystyle m\times n} над полем C {\displaystyle C} (или R {\displaystyle R} ). Пусть T {\displaystyle T} - линейное преобразование, соответствующее A {\displaystyle A} в стандартном базисе; это значит, что T (x) = A x {\displaystyle T(x)=Ax} . Ранг матрицы A {\displaystyle A} - это размерность области значений преобразования T {\displaystyle T} .

  Методы

  Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

  • Метод элементарных преобразований
  Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.
  • Метод окаймляющих миноров
  Пусть в матрице A {\displaystyle A} найден ненулевой минор k {\displaystyle k} -го порядка M {\displaystyle M} . Рассмотрим все миноры (k + 1) {\displaystyle (k+1)} -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M {\displaystyle M} ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k {\displaystyle k} . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

  Ранг матрицы

  Определение 1

  Система строк/столбцов некоторой матрицы называется линейно независимой, если ни одна из этих строк (ни один из этих столбцов) линейно не выражается через другие строки/столбцы.

  Рангом системы строк/столбцов некоторой матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n} $ называется наибольшее количество линейно независимых строк/столбцов.

  Ранг системы столбцов всегда совпадает с рангом системы строк. Этот ранг называется рангом рассматриваемой матрицы.

  Ранг матрицы - это максимальный из порядков миноров заданной матрицы, для которых определитель отличен от нуля.

  Для обозначения ранга матрицы используют следующие записи: $rangA$, $rgA$, $rankA$.

  Ранг матрицы обладает следующими свойствами:

  1. Для нулевой матрицы ранг матрицы равен нулю, для остальных - ранг есть некоторое положительное число.
  2. Ранг прямоугольной матрицы порядка $m\times n$ не больше меньшего из количества строк или столбцов матрицы, т.е. $0\le rang\le \min (m,n)$.
  3. Для невырожденной квадратной матрицы некоторого порядка ранг этой матрицы совпадает с порядком данной матрицы.
  4. Определитель квадратной матрицы некоторого порядка, имеющей ранг меньший порядка матрицы, равный нулю.

  Существует два способа нахождения ранга матрицы:

  • окаймлять с помощью определителей и миноров (метод окантовки);
  • посредством элементарных преобразований.

  Алгоритм метода окантовки включает следующее:

  1. В случае, когда все миноры первого порядка являются равными нулю, имеем ранг рассматриваемой матрицы равным нулю.
  2. В случае, когда хотя бы один из миноров первого порядка не является равным нулю, и при этом все миноры второго порядка являются равными нулю, ранг матрицы равен 1.
  3. В случае, когда хотя бы один из миноров второго порядка не является равным нулю, выполняется исследование миноров третьего порядка. В результате находится минор порядка $k$ и проверяется, не являются ли равными нулю миноры порядка $k+1$. Если все миноры порядка $k+1$ является равными нулю, то ранг матрицы равен $k$.

  Как определить ранг матрицы: примеры

  Пример 1

  Решение:

  Отметим, что ранг исходной матрицы не может быть более 3.

  Среди миноров первого порядка имеются миноры не равные нулю, например, $M_{1} =\left|-2\right|=-2$. Рассмотрим миноры второго порядка.

  $M_{2} =\left|\begin{array}{cc} {-2} & {1} \\ {1} & {0} \end{array}\right|=-2\cdot 0-1\cdot 1=0-1=-1\ne 0$

  $M_{3} =\left|\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right|=-2\cdot 0\cdot 3+1\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot 4-1\cdot 0\cdot 4-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 3\cdot (-2)=3+8-0-3+12=20\ne 0$

  Следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.

  Пример 2

  Определить ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} {1} & {2} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {2} & {3} & {4} \\ {2} & {3} & {1} & {4} & {5} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right)$.

  Решение:

  Отметим, что ранг исходной матрицы не может быть более 4 (строк 4, столбцов 5).

  Среди миноров первого порядка имеются отличные от нуля, например, $M_{1} =\left|1\right|=1$. Рассмотрим миноры второго порядка.

  $M_{2} =\left|\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {1} \end{array}\right|=1\cdot 1-0\cdot 2=1-0=1\ne 0$

  Выполним окаймление минора второго порядка и получим минор третьего порядка.

  $M_{3} =\left|\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {0} & {1} & {2} \\ {2} & {3} & {1} \end{array}\right|=1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2+0\cdot 3\cdot 3-2\cdot 1\cdot 3-0\cdot 1\cdot 2-2\cdot 3\cdot 1=1+8+0-6-0-6=-3\ne 0$

  Выполним окантовывание минора третьего порядка и получим минор четвертого порядка.

  $M_{4} =\left|\begin{array}{cccc} {1} & {2} & {3} & {0} \\ {0} & {1} & {2} & {3} \\ {2} & {3} & {1} & {4} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right|=0$ (содержит нулевую строку)

  $M_{5} =\left|\begin{array}{cccc} {1} & {2} & {3} & {1} \\ {0} & {1} & {2} & {4} \\ {2} & {3} & {1} & {5} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right|=0$ (содержит нулевую строку)

  Все миноры четвертого порядка матрицы равны нулю, следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.

  Нахождение ранга матрицы посредством элементарных преобразований сводится к приведению матрицы к диагональному (ступенчатому) виду. Ранг полученной в результате преобразований матрицы равен числу ненулевых диагональных элементов.

  Пример 3

  Определить ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$.

  Решение:

  Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А:

  $A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$

  Умножим первую строку матрицы В на число 2 и сложим со второй строкой:

  $\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$

  Умножим первую строку матрицы С на число -1 и сложим с третьей строкой:

  $\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {2} & {0} \end{array}\right)$

  Умножим вторую строку матрицы D на число -2 и сложим с третьей строкой:

  $\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {2} & {0} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {0} & {-20} \end{array}\right)$

  $\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {0} & {-20} \end{array}\right)$ - матрица ступенчатого вида

  Количество ненулевых диагональных элементов равно 3, следовательно, $rang=3$.

  Рангом матрицы называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы обозначают или .

  Если все миноры порядка данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка данной матрицы также равны нулю. Это следует из определения определителя. Отсюда вытекает алгоритм нахождения ранга матрицы.

  Если все миноры первого порядка (элементы матрицы ) равны нулю, то . Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то . Причем, достаточно просмотреть только те миноры второго порядка, которые окаймляют ненулевой минор первого порядка. Если найдется минор второго порядка отличный от нуля, исследуют миноры третьего порядка, окаймляющие ненулевой минор второго порядка. Так продолжают до тех пор, пока не придут к одному из двух случаев: либо все миноры порядка , окаймляющие ненулевой минор -го порядка равны нулю, либо таких миноров нет. Тогда .

  Пример 10. Вычислить ранг матрицы .

  Минор первого порядка (элемент ) отличен от нуля. Окаймляющий его минор тоже не равен нулю.

  Все эти миноры равны нулю, значит .

  Приведенный алгоритм нахождения ранга матрицы не всегда удобен, поскольку связан с вычислением большого числа определителей. Наиболее удобно пользоваться при вычислении ранга матрицы элементарными преобразованиями, при помощи которых матрица приводится к столь простому виду, что очевидно, чему равен ее ранг.

  Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

  Ø умножение какой-нибудь строки (столбца) матрица на число, отличное от нуля;

  Ø прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число.

  Полужордановым преобразованием строк матрицы:

  с разрешающим элементом называется следующая совокупность преобразований со строками матрицы:

  Ø к первой строке прибавить ю, умноженную на число и т.д.;

  Ø к последней строке прибавить ю, умноженную на число .

  Полужордановым преобразованием столбцов матрицы с разрешающим элементом называется следующая совокупность преобразований со столбцами матрицы:

  Ø к первму столбцу прибавить й, умноженный на число и т.д.;

  Ø к последнему столбцу прибавить й, умноженный на число .

  После выполнения этих преобразований получается матрица:

  Полужорданово преобразование строк или столбцов квадратной матрицы не изменяет ее определителя.

  Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Покажем на пример, как вычислить ранг матрицы, пользуясь элементарными преобразованиями. строк (столбцов) линейно зависимы.

  Пусть задана некоторая матрица :

  .

  Выделим в этой матрице произвольных строк ипроизвольных столбцов
  . Тогда определитель-го порядка, составленный из элементов матрицы
  , расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором-го порядка матрицы
  .

  Определение 1.13. Рангом матрицы
  называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.

  Для вычисления ранга матрицы следует рассматривать все ее миноры наименьшего порядка и, если хоть один из них отличный от нуля, переходить к рассмотрению миноров старшего порядка. Такой подход к определению ранга матрицы называется методом окаймления (или методом окаймляющих миноров).

  Задача 1.4. Методом окаймляющих миноров определить ранг матрицы
  .

  .

  Рассмотрим окаймление первого порядка, например,
  . Затем перейдем к рассмотрению некоторого окаймления второго порядка.

  Например,
  .

  Наконец, проанализируем окаймление третьего порядка.

  .

  Таким образом, наивысший порядок минора, отличного от нуля, равен 2, следовательно,
  .

  При решении задачи 1.4 можно заметить, что ряд окаймляющих миноров второго порядка отличны от нуля. В этой связи имеет место следующее понятие.

  Определение 1.14. Базисным минором матрицы называется всякий, отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы.

  Теорема 1.2. (Теорема о базисном миноре). Базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы.

  Заметим, что строки (столбцы) матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одну из них можно представить как линейную комбинацию остальных.

  Теорема 1.3. Число линейно независимых строк матрицы равно числу линейно независимых столбцов матрицы и равно рангу матрицы.

  Теорема 1.4. (Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того, чтобы определитель-го порядкабыл равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

  Вычисление ранга матрицы, основанное на использовании его определения, является слишком громоздкой операцией. Особенно это становится существенным для матриц высоких порядков. В этой связи на практике ранг матрицы вычисляют на основании применения теорем 10.2 - 10.4, а также использования понятий эквивалентности матриц и элементарных преобразований.

  Определение 1.15. Две матрицы
  иназываются эквивалентными, если их ранги равны, т.е.
  .

  Если матрицы
  иэквивалентны, то отмечают
  .

  Теорема 1.5. Ранг матрицы не меняется от элементарных преобразований.

  Будем называть элементарными преобразованиями матрицы
  любые из следующих действий над матрицей:

  Замену строк столбцами, а столбцов соответствующими строками;

  Перестановку строк матрицы;

  Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

  Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

  Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки умноженных на одно и то же число
  .

  Следствие теоремы 1.5. Если матрица
  получена из матрицыпри помощи конечного числа элементарных преобразований, то матрицы
  иэквивалентны.

  При вычислении ранга матрицы ее следует привести при помощи конечного числа элементарных преобразований к трапециевидной форме.

  Определение 1.16. Трапециевидной будем называть такую форму представления матрицы, когда в окаймляющем миноре наибольшего порядка отличного от нуля все элементы, стоящие ниже диагональных, обращаются в нуль. Например:

  .

  

  Здесь
  , элементы матрицы
  обращаются в нуль. Тогда форма представления такой матрицы будет трапециевидной.

  Как правило, матрицы к трапециевидной форме приводят при помощи алгоритма Гаусса. Идея алгоритма Гаусса состоит в том, что, умножая элементы первой строки матрицы на соответствующие множители, добиваются, чтобы все элементы первого столбца, расположенные ниже элемента
  , превращались бы в нуль. Затем, умножая элементы второго столбца на соответствующие множители, добиваются, чтобы все элементы второго столбца, расположенные ниже элемента
  , превращались бы в нуль. Далее поступают аналогично.

  Задача 1.5. Определить ранг матрицы путем сведения ее к трапециевидной форме.

  .

  Для удобства применения алгоритма Гаусса можно поменять местами первую и третью строки.

  
  
  

  
  
  
  .

  Очевидно, что здесь
  . Однако, для приведения результата к более изящному виду можно далее продолжить преобразования над столбцами.

  
  
  
  

  
  
  
  
  .

  Ранг матрицы

  Определение 1

  Система строк/столбцов некоторой матрицы называется линейно независимой, если ни одна из этих строк (ни один из этих столбцов) линейно не выражается через другие строки/столбцы.

  Рангом системы строк/столбцов некоторой матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n} $ называется наибольшее количество линейно независимых строк/столбцов.

  Ранг системы столбцов всегда совпадает с рангом системы строк. Этот ранг называется рангом рассматриваемой матрицы.

  Ранг матрицы - это максимальный из порядков миноров заданной матрицы, для которых определитель отличен от нуля.

  Для обозначения ранга матрицы используют следующие записи: $rangA$, $rgA$, $rankA$.

  Ранг матрицы обладает следующими свойствами:

  1. Для нулевой матрицы ранг матрицы равен нулю, для остальных - ранг есть некоторое положительное число.
  2. Ранг прямоугольной матрицы порядка $m\times n$ не больше меньшего из количества строк или столбцов матрицы, т.е. $0\le rang\le \min (m,n)$.
  3. Для невырожденной квадратной матрицы некоторого порядка ранг этой матрицы совпадает с порядком данной матрицы.
  4. Определитель квадратной матрицы некоторого порядка, имеющей ранг меньший порядка матрицы, равный нулю.

  Существует два способа нахождения ранга матрицы:

  • окаймлять с помощью определителей и миноров (метод окантовки);
  • посредством элементарных преобразований.

  Алгоритм метода окантовки включает следующее:

  1. В случае, когда все миноры первого порядка являются равными нулю, имеем ранг рассматриваемой матрицы равным нулю.
  2. В случае, когда хотя бы один из миноров первого порядка не является равным нулю, и при этом все миноры второго порядка являются равными нулю, ранг матрицы равен 1.
  3. В случае, когда хотя бы один из миноров второго порядка не является равным нулю, выполняется исследование миноров третьего порядка. В результате находится минор порядка $k$ и проверяется, не являются ли равными нулю миноры порядка $k+1$. Если все миноры порядка $k+1$ является равными нулю, то ранг матрицы равен $k$.

  Как определить ранг матрицы: примеры

  Пример 1

  Решение:

  Отметим, что ранг исходной матрицы не может быть более 3.

  Среди миноров первого порядка имеются миноры не равные нулю, например, $M_{1} =\left|-2\right|=-2$. Рассмотрим миноры второго порядка.

  $M_{2} =\left|\begin{array}{cc} {-2} & {1} \\ {1} & {0} \end{array}\right|=-2\cdot 0-1\cdot 1=0-1=-1\ne 0$

  $M_{3} =\left|\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right|=-2\cdot 0\cdot 3+1\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot 4-1\cdot 0\cdot 4-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 3\cdot (-2)=3+8-0-3+12=20\ne 0$

  Следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.

  Пример 2

  Определить ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} {1} & {2} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {2} & {3} & {4} \\ {2} & {3} & {1} & {4} & {5} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right)$.

  Решение:

  Отметим, что ранг исходной матрицы не может быть более 4 (строк 4, столбцов 5).

  Среди миноров первого порядка имеются отличные от нуля, например, $M_{1} =\left|1\right|=1$. Рассмотрим миноры второго порядка.

  $M_{2} =\left|\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {1} \end{array}\right|=1\cdot 1-0\cdot 2=1-0=1\ne 0$

  Выполним окаймление минора второго порядка и получим минор третьего порядка.

  $M_{3} =\left|\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {0} & {1} & {2} \\ {2} & {3} & {1} \end{array}\right|=1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2+0\cdot 3\cdot 3-2\cdot 1\cdot 3-0\cdot 1\cdot 2-2\cdot 3\cdot 1=1+8+0-6-0-6=-3\ne 0$

  Выполним окантовывание минора третьего порядка и получим минор четвертого порядка.

  $M_{4} =\left|\begin{array}{cccc} {1} & {2} & {3} & {0} \\ {0} & {1} & {2} & {3} \\ {2} & {3} & {1} & {4} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right|=0$ (содержит нулевую строку)

  $M_{5} =\left|\begin{array}{cccc} {1} & {2} & {3} & {1} \\ {0} & {1} & {2} & {4} \\ {2} & {3} & {1} & {5} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right|=0$ (содержит нулевую строку)

  Все миноры четвертого порядка матрицы равны нулю, следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.

  Нахождение ранга матрицы посредством элементарных преобразований сводится к приведению матрицы к диагональному (ступенчатому) виду. Ранг полученной в результате преобразований матрицы равен числу ненулевых диагональных элементов.

  Пример 3

  Определить ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$.

  Решение:

  Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А:

  $A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$

  Умножим первую строку матрицы В на число 2 и сложим со второй строкой:

  $\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$

  Умножим первую строку матрицы С на число -1 и сложим с третьей строкой:

  $\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {2} & {0} \end{array}\right)$

  Умножим вторую строку матрицы D на число -2 и сложим с третьей строкой:

  $\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {2} & {0} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {0} & {-20} \end{array}\right)$

  $\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {0} & {-20} \end{array}\right)$ - матрица ступенчатого вида

  Количество ненулевых диагональных элементов равно 3, следовательно, $rang=3$.

  Напечатать